OSILATOR HARMONIK

MAKALAH FISIKA MODERN

        OSILATOR HARMONIK

DISUSUN OLEH :

NAMA                 : RILA PRATIWI SASKIA WINADA

NIM                     : A1C315028

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JAMBI

2016

KATA PENGANTAR

            Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga makalah dengan judul ‘’ OSILATOR HARMONIK ‘’ ini dapat terselesikan.
            Pada makalah ini akan disajikan materi tentang penyelesaian osilator harmonik secara mekanika kuantum. Harapan saya semoga makalah ini dapat memberi info atau menambah  pengetahuan bagi para pembaca,.
             Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman, saya rasa masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu saya sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

                                                                                       Jambi,   November 2016

                                                                                                                              Penulis

                                                                                                                       

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR………………………………………………………….

DAFTAR ISI…………………………………………………………………...

BAB I :PENDAHULUAN……………………………………………………..

1.1  LATAR BELAKANG……………………………………….……..

1.2  RUMUSAN MASALAH…………………………………..……….

1.3  TUJUAN…………………………………………………..………..

BAB II : PEMBAHASAN……………………………………………………...

1   

2   

2.1  PENYELESAIAN OSILATOR HARMONIK

SECARA MEKANIKA KUANTUM...............................................

BAB III : PENUTUP…………………………………………………………...

3   

3.1  KESIMPULAN …………………………………………………….

3.2  SARAN……………………………………………………………..

DAFTAR PUSTAKA

             

BAB I

PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang

Secara fisika, osilator harmonis mendeskripsikan getaran-getaran kecil di sekitar sebuah posisi kesetimbangan stabil, dan merupakan sebuah sistem yang sangat penting di dalam mekanika klasik. Informasi ini menunjukkan bahwa osilator harmonis adalah sebuah sistem fisika, seperti kebanyakan sistem fisika lain yang bergetar. Benda yang bergetar, secara klasik, dapat dimodelkan sebagai osilator harmonis, walaupun pada kenyataanya osilator harmonis itu tidak ada dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam mekanika kuantum, osilator harmonis sangat penting, misalnya ketika kita mempertimbangkan gerakan sebuah partikel dalam satu dimensi, yaitu getaran dari sebuah molekul diatomik yang inti atomnya bermassa m1 dan m2. Contoh lain sistem yang ditinjau melalui pendekatan osilator harmonis dalam mekanika kuantum adalah vibrasi atom-atom dalam kristal zat padat, yang kemudian akan memperkenalkan kita pada konsep tentang phonon, dan gelombang elektromagnetik yang terkuantisasi, dikenal sebagai photon. Sementara itu, ada contoh-contoh lain yang menarik dan telah dikembangkan melalui mekanika kuantum, seperti optika kuantum, komputasi kuantum, laser, NMR, dsb. Saya tertarik untuk mempelajari tentang sejarah mula-mula konsep osilator harmonis kuantum diperkenalkan, bagaimana penggunaannya, prinsip kerja, batasan-batasan, dan apa pentingnya konsep osilator harmonis. Tulisan ini fokus kepada aspek sejarah awal mula konsep osilator harmonis kuantum.
Kapan pendekatan/teknologi/proses osilator harmonis kuantum ini diperkenalkan? Jawaban atas pertanyaan sederhana ini dapat ditelusuri ke masa/saat awal lahirnya teori mekanika kuantum (konvensional, 1900). Ketika Planck menjelaskan fenomena BBR (Black Body Radiation) pada tahun 1900, osilator harmonis, yang telah dikenal sebelumnya dalam mekanika klasik, dipakainya sebagai pendekatan untuk menunjukkan bahwa energi yang dipancarkan dan diserap oleh setiap osilator tidaklah kontinyu melainkan dalam bentuk paket-paket energi yang diskrit. Kemudian konsep yang diusulkan oleh Planck membawa perubahan besar ketika Einstein menegaskan kembali sifat kuantisasi energi saat menjelaskan fenomena efek fotolistrik. Sejak saat itu, teori kuantum lahir dan photon adalah istilah yang dipakai untuk menyebut paket-paket energi diskrit tersebut. Dengan demikian, sejarah awal konsep osilator harmonis kuantum tidak dapat dipisahkan dari lahirnya mekanika kuantum.
Dalam perkembangan selanjutnya, vibrasi atomik di dalam zat padat dapat dijelaskan dengan sederhana melalui pendekatan osilator harmonis kuantum. Einstein menggunakan 3N osilator harmonis yang tidak berpasangan untuk memperkirakan kapasitas panas dari sebuah kisi kristal, dan pendekatan tersebut lebih akurat daripada pendekatan klasik. Akan tetapi, model Einstein kemudian dikoreksi oleh Debye dengan mengasumsikan bahwa semua osilator tersebut sebenarnya terkopel (berpasang-pasangan). Pendekatan Einstein cocok untuk temperatur tinggi, sedangkan pendekatan Debye cocok untuk temperatur rendah dan tinggi. Debye, pada tahun 1912, menerapkan teori kuantum pada gelombang bunyi di dalam zat padat. Tinjauan dimulai dengan sebuah gelombang bunyi klasik, di mana tekanan sebagai sebuah fungsi posisi, dan mendeskripsikan gelombang itu dengan sebuah fungsi gelombang kuantum, sebagai sebuah fungsi amplitudo, yang mana merupakan deret sebuah osilator harmonis (eksitasi-eksitasi) yang terkuantisasi dan berjarak sama satu dengan yang lain. Eksitasi-eksitasi tersebut dikenal sebagai phonon. Deret takhingga dari level-level energi diskrit yang berjarak sama mirip dengan apa yang ditemukan oleh Planck pada tahun 1900 berkaitan dengan mode/ragam medan gelombang elektromagnetik.

                                                                                                           

1.2     Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut :

1.       Bagaiman penyelesaian osilator harmonik secara mekanika kuantum ?

1.3       Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut :

1.       Untuk mengetahui bagaiman penyelesaian osilator harmonik secara mekanika kuantum

                                                                                               

                       

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Penyelesaian osilator harmonik secara mekanika kuantum

     Teori atom bohr dapat menjelaskan mengenai gejala atomik meskipunmemiliki pembatasan yang berat. Kelemahan teori atom bohr diantaranya tidak dapat menjelaskan mengenai mengapa garis spektral tertentu memiliki intensitas yang lebih tinggi dari yang lain (mengapa transisi tertentu antara tingkat energy berpeluang lebih besar dari yang lain). Teori tersebut tidak dapat menerangkan hasil pengamatan bahwa banyak garis spektral sesungguhnya terdiri dari garis garis terpisah yang panjang gelombangnya berbeda sedikit (Beiser, 1992).

Gerak harmonik terjadi jika suatu sistem jenis tertentu bergetar disekitar konfigurasi setimbangnya. Sistemnya bisa terdiri dari benda yang digantung pada sebuah pegas atau terapung pada zat cair, molekul dwi atom, sebuah atom dalam kisi kristal terdapat banyak sekali contoh dalam dunia mikroskopik dan juga makroskopik. Persyaratan supaya gerak harmonik terjadi adalah terdapatnya gaya pemulih yang beraksi untuk mengembalikan ke konfigurasi setimbangnya jika sistem itu diganggu, kelembaman massa yang bersangkutan mengakibatkan bendamelampaui kedudukan setimbangnya, sehingga sistem itu berosilasi terus menerus jika tidak terdapat proses disipatif (Beiser, 1992).

       Pada mekanika klasik, salah satu bentuk osilator harmonik adalah sistem pegas

massa, yaitu suatu beban bermassa m yang terikat pada salah satu ujung pegas dengan konstanta pegas k. Persamaan gerak beban adalah

ƩF = ma                                                                             (1)

F =  -kx                              a=

I kx = m

x                                                                       (2)

Dengan ω =  adalah frekuensi anguler osilasi

Persamaan (2) adalah persamaan differensial orde 2 dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah:

X(t) = A sin ωt , X(t) = B cos ωt                                         (3)

Dan energi potensial sistem adalah:

V(x) =

k = m

V(x) =                                                                  (4)

Lalu bagimana tinjuan osilator harmonik dalam mekanika kuantum ? dalam mekaninka kuantum, fungsi gelombang dari osilator harmonik diperoleh dengan memecahkan persamaan schrodinger dengan potensial V(x) berbentuk:

V(x) =

Oleh karena V(x) tidak bergantung waktu, maka kita dapat menggunakan persamaan schrodinger tak bergantung waktu bentuk satu dimensi yaitu :

  +  = Eѱ(x)

-         + = Eѱ(x)                                   (5)

Karena i² = -1

Maka persamaan diatas dapat diubah menjadi:

  + = Eѱ(x)

 ( ) + = Eѱ(x)

 ( )² + = Eѱ(x)

 [ )² + (mωx)²] ѱ(x) = Eѱ(x)                                                  (6)

Persamaan differensial schrödinger dapat diselesaikan dengan pendekatan yang berbeda. Aplikasi dari metode ini sering digunakan dalam teori medan kuantum. Persamaan schrödinger untuk osilator harmonic

                                                                                           (2.63)

Persamaan schrödinger didefinisikan dalam operator Hamiltonian

                                                 (2.64)  

                                                     (2.65)              

Persamaan schrödinger bagian kiri (hamiltonian dari osilator harmonik) dapat difaktorkan menjadi 2 faktor yang masing masing adalah persamaan diferensial orde 1 yang terdapat pada persamaan (2.66)

                                                  (2.66)

                                           (2.67)

Persamaan (2.67) sering dikenal sebagai hermitian konjugate dari a. Hermitian Konjugate dalam bentuk matrix adalah kompleks konjugate dari transpose matrix

A’ = A*                                                                              (2.68)

A* adalah transpose dari A

                                        (2.69)

Matrix pada persamaan (2.69) disebut Hermitian jika

A’ = A                                                                                (2.70)

Operator pada persamaan (2.66) dapat dibalik sehingga memberikan

Persamaan

                                                      (2.71)

Dan

                                                   (2.72)

Operator a dan a' tidak komutatif dengan menggunakan [x, p] = I  , ini

membuktikan bahwa

[a, a’]= 1                                                                            (2.73)

Berdasarkan definisi operator pada persamaan (2.66) maka dapat ditunjukkan hamiltonian dalam operator seperti pada persamaan (2.74)

                                                     (2.74)

Dengan menggunakan sifat sifat operator maka dapat ditunjukkan fungsi gelombang terendah dan tereksitasi

                                                 (2.75)

Hamiltonian pada persamaan (2.74) dapat digunakan untuk menentukan tingkat tingkat energi tereksitasi yang ditunjukkan oleh persamaan (2.76)

                                 (2.76)

Berdasarkan persamaan (2.76) dengan memasukkan nilai n = 0 maka akan diperoleh hubungan

                                                  (2.77)

Dengan menggunakan subtitusi persamaan (2.74) ke dalam persamaan (2.77) maka akan diperoleh

                                                             (2.78)

Berdasarkan persamaan (2.76) dengan subtitusi berbagai nilai n maka akan diperoleh persamaan (2.79)

                   (2.79)

Persamaan (2.75) dapat digunakan untuk memperoleh ѱ₀ dan ѱ₁ begitu seterusnya sehingga akan diperoleh nilai ѱ₀ sampai ѱ_n . Persamaan (2.66) dioperasikan pada fungsi gelombang bertingkat akan diperoleh persamaan (2.80)

                                               (2.80)

Dimana

Dengan menggunakan hubungan aѱ₀ = 0 maka

                                 (2.81)

                                                              (2.82)

Ini adalah persamaan turunan orde satu yang memiliki solusi

                         (2.83)

Dengan y = x, sekarang dapat ditentukan nilai ѱ_n

(2.84)

Operator a' dapat dituliskan dalam bentuk lebih sederhana dengan menggunakan y = x sehingga diperoleh persamaan (2.85)

                                      (2.85)

Sehingga dengan menggunakan dua persamaan (2.85) subtitusi ke (2.84)

maka dapat dibuktikan

      (2.86)

               

BAB III

PENUTUP

1.   

2.   

3.   

3.1  Kesimpulan

Dalam mekaninka kuantum, fungsi gelombang dari osilator harmonik diperoleh dengan memecahkan persamaan schrodinger dengan potensial V(x) berbentuk:

                   V(x) =

Oleh karena V(x) tidak bergantung waktu, maka kita dapat menggunakan persamaan schrodinger tak bergantung waktu bentuk satu dimensi yaitu :

  +  = Eѱ(x)

3.2  Saran

Setelah membaca makalah ini, pembaca diharapkan dapat mengetahui bagaimana penyelesaian osilatr harmonik secara mekanika kuantum, sekaligus menerapkannya dalam pelaksanaan kegiatan pembelajaran. Diharapkan pula para pembaca  dapat memberi kritik dan saran agar kiranya makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan referensi yang relevan.

DAFTAR PUSTAKA

Krane,Kenneth.1992.Fisika Moder.Jakarta: Universitas Indonesia

Beiser, A., 1992, Konsep Fisika Modern Edisi Keempat, Erlangga, Jakarta